Relasi antara dua himpunan

1.      Hipunan bagian (Subset)

Himpunan bagian dari lambang “C”. Jika ada himpunan A dan B, maka dipenuhi hubungan hubungan A tercakup dalam B, dengan symbol A C D. Jika dan hanya jika senua anggota dari A juga merupakan anggota dari B, kita juga menyetujui istilah B mencakup A dengan simbol B: B כ A. Istilah lain mencakup himpunan bagian (subset).

Defenisi

Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B ditulis A C B, jika dipenuhi:

a.       Jika setiap unsur A juga merupakan unsur hipunan B.

b.      Jika A C B, maka setiap x ε A maka x ε B .

Dari definisi di atas dapat kita simpulkan dengan rumus:

Definisi lain yang penting dari hubungan ini adalah paham himpunan bagian (Proper subset).

Definisi

A adalah himpunan bagian murni dari B jika paling sedikit ada satu unsur dari B yang tidak menjadi anggota himpunan A, kalau tidak demikian maka dinamakan himpunan bagian tidak murni (improper subset).

Diantara sifat-sifat dasar dari relasi himpunan bagian ini adalah,

A C A

A C B dan B C C maka A C C

A C B dan B C A maka A = B

Juga dari definisi di atas dapat di tarik kesimpulan.

a.       Setiap himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan itu sendiri

b.      Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan

c.       Banyak himpunan bagian adalah 2ⁿ, n adalah bilangan cardinal

Bukti

a.       Berdasarkan rumus di atas,

A C B = jika x ε A maka x ε B.

Jelas rumus di atas berlaku jika B digantikan dengan A, A C A = jika x ε A maka x ε A, benar

b.      Misalkan Ø Ø A maka berarti ada angota Ø yang tidak menjadi anggota A, sedangkan kita himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota jadi pemisah Ø Ø A salah. Maka hubungan Ø C A adalah benar

c.       Dapat kita buktikan secara induksi,

1.      Ø     Ø C Ø,   n(Ø)= 0                         2°= 1 (dipenuhi)

2.      A= {a} Ø C A, A C A, n(a)= 1   2¹= 2 (dipenuhi)

3.      A= {a,b} Ø C A, {a} C A

{b} C A, A C A, n(A)= 2             2²=4 (dipenuhi)

Gunakan bukti selanjutnya ditinggalkan untuk para pembaca. Dari banyaknya himpunan bagian dapat disusun himpunan baru yang dinamakan himpunan kuasa dengan lambang 2^A untuk suatu himpunan A.

Definisi

Himpunan kuasa dari himpunan A dengan lambang 2^A adalah himpunan baru yang anggota-anggotanya terdiri dari semua himpunan yang menjadi himpunan bagian dari himpunan A.

Contoh

a.        A = {a,b,c,d,e}

B = {a,c,e}

Maka B C A, karena semua anggota B dengan anggota

A. Dengan diagram venn.

Gambar 2.4

b.      Tentukan himpunan kuasa dari X = {a,b}

Jawab : Himpunan bagain dari X adalah:

Ø, {a}, {b}, x maka

2^x = { Ø , {a}, {b}, X}

Sumber : Prinsip Matematika, Pengarang: Buchori ddk